Условия и законы подобия для лопастных машин
Условия и законы подобия для лопастных машин
Для проектирования и эксплуатации гидромашин необходимо знать, как определить основные рабочие параметры машины, такие как подача, напор, мощность, если изменяются: частота вращения, диаметр рабочего колеса, плотность перекачиваемой среды. Практика показывает, что до изготовления машины в натуральную величину целесообразнее выполнить и испытать уменьшенную ее модель, а потом, имея пересчетные формулы (законы подобия), вытекающие из условий подобия, получить рабочие параметры натурной машины.
Чтобы получить законы подобия для гидромашин, необходимо выполнить следующие условия:
1. Обеспечить геометрическое подобие ограничивающих область потока поверхностей. За границы области потока у гидромашины могут быть приняты сечения потока во входном и выходном патрубках машины. Условия геометрического подобия двух сравниваемых машин будут определяться постоянством отношения всех линейных размеров (в том числе зазоров, шероховатостей).
2. Соблюсти кинематическое подобие для скоростей на границах области потока. Это условие требует одинакового характера распределения скоростей потока на выбранных границах, что может быть обеспечено сходными условиями подвода и отвода жидкости, постоянством отношения средней скорости течения жидкости v через входное сечение к скорости вращения рабочего колеса и, т. е. должно соблюдаться условие
напора сети Нст. Если принять Qt = Qu, то к. п. д. сети при последовательном включении может быть оценен выражением:
Зная, что средняя скорость жидкости пропорциональна отношению подачи к квадрату линейного размера сечения, а окружная скорость вращения рабочего колеса пропорциональна произведению частоты вращения на диаметр
условие кинематического подобия может быть записано как
3. Выдержать условие динамического подобия — сил внутреннего трения. При этом для напорных, установившихся потоков необходи-
мо соблюдение равенства чисел Рейнольдса:
или
Так как для большинства гидромашин существует широкая область автомодельности, то последнее условие не играет особой роли.
4. Обеспечить подобие по кавитации (см. параграф 2.13), соответствующее выражению
После выполнения вышеуказанных условий можно написать, что перепад давлений Ар в сходственных точках будет пропорционален произведению плотности на квадрат скорости потока (на основании равенства критериев Эйлера):
Известно, что удельная энергия потока может быть выражена как
Следовательно, она будет пропорциональна квадрату скорости:
Принимая во внимание (2.38), получим
и записать
При выполнении условий (2.39), (2.40), (2.41) к. п. д. подобных машин остается постоянным.
Практикой проверено, что результаты, полученные по этим формулам, имеют большую точность. Некоторые отступления могут иметь место за счет внешних механических потерь, влияния вязкости и неполного соблюдения геометрического подобия, например, по зазорам,
Зная, что Ар ~ ри2, что и ~ и ~ nD, выражение для крутящего момента сил можно представить как
Выражая мощность как произведение момента на угловую скорость N = Л4со, будем иметь
шероховатости. Режимы работы машины, когда выполняются вышеуказанные условия, называются подобными.
Используя соотношения (2.39), (2.40), (2.41), можно по результатам испытаний гидромашины с частотой вращения п найти рабочие параметры геометрически подобной машины другого размера, при другой частоте вращения пх. Пусть испытанная машина при частоте вращения п, диаметре рабочего колеса D2, имеет рабочие параметры Q, Н, N и подает жидкость с плотностью р. Новая, подобная ей машина имеет частоту вращения пх, диаметр рабочего колеса £>2* и подает жидкость с плотностью рх. Необходимо определить рабочие параметры новой машины: Qx, Нх и Nx. Используя уравнения (2.39), (2.40), (2.41) можем написать:
Необходимо отметить, что при изменении частоты вращения меняется число Re, потери в уплотнениях и подшипниках, поэтому формулы (2.43) дадут приближенные результаты, что особо важно иметь в виду при перекачке жидкостей с большой вязкостью.
С помощью формул (2.42) можно сделать также пересчет результатов испытаний, например, модельной машины, и получить рабочие характеристики натурной машины. Используя приведенные зависимости можно решить и такую задачу. Имеются результаты испытаний машины при каком-то постоянном напоре И. Необходимо определить рабочие параметры другой подобной машины, при другом напоре Нх. На основании зависимостей (2.42) будет иметь:
Для одной и той же машины, когда изменяется только частота вращения п, формулы пересчета будут:
Формула (2.44) описывает параболу 2-й степени (рис. 2.32), выходящую из начала координат Н — Q и носит название параболы (кривой) подобных режимов. Эта кривая показывает, как изменяются подача и напор машины с изменением частоты вращения при работе на сеть с постоянными Н и Q. Установлено, что если подача меняется пропорционально частоте вращения, то внутренний к. п. д. ее (гр = т|гт|0) остается неизменным. Следовательно, кривая подобных режимов (рис. 2.32) является и кривой постоянных внутренних к. п. д. А для случая, когда статическая часть характеристики сети равна нулю, кривая подобных режимов совпадает с характеристикой сети.
Рассмотрим случай использования кривой подобных режимов (рис. 2.33). Насос работает на сеть, имеющую характеристику Нс. При^частоте вращения п0 рабочей точкой является точка А, подача насоса при этом Qo. Парабола подобных режимов — кривая 0D. Необходимо изменением частоты вращения уменьшить подачу насоса до Q{. Требуется определить новую частоту вращения nt. Новой рабочей точкой будет точка В. Данной рабочей точке будет соответствовать своя новая кривая подобных режимов OD, которая пересечет напорную характеристику насоса при частоте вращения п0 в точке С. Точке С соответствует подача Qc. Вдоль параболы 0D соблюдаются условия подобия, поэтому можно записать
Парабола (кривая) подобных режимов. Из уравнений (2.43) для одной и той же машины можно получить
откуда искомая частота вращения
Таким образом, в рассматриваемом случае для определения неизвестной частоты вращения вала насоса необходимо построить кривую
Удельная частота вращения представляет собой частоту вращения модельной машины, у которой подача равна 1 м3/с, а напор — 1 м; они связаны с параметрами натурной машины уравнением (2.47). Так как параметры q и h неизменны, то и величина пу для серии подобных машин, работающих на таких же режимах, будет постоянной. Следовательно, удельная частота вращения есгь критерий подобия машин.
В теории и практике гидромашин в качестве критерия геометрического подобия для них широкое распространение имеет коэффициент быстроходности ns, представляющий собой не что иное как частоту вращения эталонного (модельного) насоса геометрически подобного во всех элементах натурному, имеющему с ним одинаковые гидравлический и объемный к. п. д., но с напором Н = 1 м и полезной мощностью N — 1л. с., т. е. с подачей Q = 0,075 м3/с. И если натурный насос имеет рабочие параметры Q м3/с, Н м и п об/мин, то согласно
подобных режимов OD (приняв за постоянную величину —HIQi), т. е.
Эта кривая проходит через новую рабочую точку В.